Bonjour,

Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
n'est pas dérivable en 0.
Ca ne devrait pas être 0 ?

Merci d'avance pour vos lumiéres.

-TSalm

TSalm a écrit :
> Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
> n'est pas dérivable en 0.

Bonjour

Cela n'a aucun sens : la notion de dérivabilité ne s'applique qu'aux
fonctions.
Mais une limite n'est pas une fonction. Une limite est un scalaire.
Ça n'a donc pas de sens de dire que la limite d'une fonction est dérivable.

Si tu veux parler de la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0,
il suffit d'appliquer la définition de la dérivabilité en un point pour
comprendre ce qui se passe.

Le Mon, 02 Nov 2009 23:04:30 +0100
TSalm a écrit
>Bonjour,
>
>Je ne comprends pas bien pourquoi la limite de la valeur absolue de x
>n'est pas dérivable en 0.
>Ca ne devrait pas être 0 ?
>
>Merci d'avance pour vos lumiéres.
>
>-TSalm

Que vaut la dérivée de |x| en 0 ?

D'après la définition c'est la limite quand x->0
de |x| - 0 / (x-0) = |x| / x = signe(x)

càd +1 si x > 0 et -1 si x < 0.

On dit qu'une fonction est dérivable en un point x0 si le quotient
f(x)-f(x0)/(x-x0) admet une limite.

Or ici ce n'est pas le cas puisqu'il y a deux valeurs possibles et que
de plus la valeur en 0 est "indéfinie" (i.e. 0/0).

On parle alors généralement de demi-tangentes au point considéré.
Ici quand x -> 0+ (i.e x tend vers 0 tout en étant positif),
f+' (x) = +1
Et quand x -> 0- (i.e x tend vers 0 tout en étant négatif),
f-' (x) = -1

On a les deux demi-tangentes (1,-1) et (1,1) au point (0,0) de la
courbe y = |x|

Quand la valeur de f+' et f-' sont égales cela signifie que les 2
demi-tangentes sont alignées et on parle donc de f ' sans ambiguité en
ce point.

Bien entendu on peut toujours poser par convention
f ' (x) = ( f+'(x) + f-'(x) ) / 2

Ce qui nous amènerait ici à considérer que f'(0) = (+1 - 1) / 2 = 0,
mais il ne s'agit que d'une pure convention esthétique.

Un autre point de vue plus avancé, par exemple la théorie des
distributions nous amène plutôt à poser f '(0) = 2 * dirac(0).
Où la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
c'est l'écart entre -1 et +1, les dérivées à gauche et à droite de 0.

Généralement on se limite à l'usage strict et on ne parle de
dérivabilité qu'aux points où la limite existe (i.e. la limite du
quotient ne peut prendre qu'une seule valeur bien définie).




--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

Le Wed, 04 Nov 2009 05:45:03 +0100
zwim a écrit
>Un autre point de vue plus avancé, par exemple la théorie des
>distributions nous amène plutôt à poser f '(0) = 2 * dirac(0).
>Où la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
>c'est l'écart entre -1 et +1, les dérivées à gauche et à droite de 0.

ERRATA: 2 * dirac(0) ce serait plutôt la dérivée seconde, je me suis
emporté.


--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

La fonction f, qui Ã* tout réel x associe le réel |x|, a une «cassure» en
0, on la voit bien quand on dessine la fonction. Cette «cassure», on peut
essayer de la décrire.

DéjÃ*, ce n'est pas une «cassure» du type 'discontinuité' : on ne lève pas
le crayon quand on dessine la fonction.

En fait, c'est une cassure de «vitesse d'évolution». En clair, Ã* gauche
de 0, si j'avance de 1, je diminue de 1 (*). À droite, si j'avance de 1,
j'augmente de 1.

En 0, c'est vraiment impossible Ã* dire, parce que suivant le chemin que
je prends, bah je change la «vitesse d'évolution». Ce dont je suis sûr,
c'est qu'Ã* gauche, la vitesse, je l'estime Ã* -1, et Ã* droite je l'estime
Ã* 1.

On pourrait se mettre d'accord pour dire que, lorsque ça arrive, on fait
la somme : -1+1 = 0, oui. Mais en fait, ça ne nous importe aucune
information utile (si ce n'est «vers où penche le point ?» peut-être), et
surtout ce n'est pas comme ça qu'on définit une dérivée, tout simplement.
Il faut faire preuve d'imagination pour bien comprendre la dérivation...
mais pas au point de changer les définitions !

(*) si x < -1 f(x+1)=f(x)-1, c'est clair.
mais pour le cas : -1 < x < 0, on voit :
f(x+a) = f(x) - a avec x < a < 0
c'est-Ã*-dire : si j'avance de a, je recule de a.

Et je peux me rapprocher comme ça indéfiniment de 0 avec x... Mais dès
que je dépasse un tout petit peu zéro, je me retrouve Ã* droite, et ça
devient beaucoup plus compliqué.

N'hésite pas Ã* te renseigner sur le sujet, c'est un formidable outil, les
dérivées, on peut les utiliser partout, et ça t'aidera de nombreuses fois
au cours de ta scolarité. Ça été aussi historiquement un sujet de
discorde et une porte ouverte vers plein de bonnes choses en
mathématiques. Beaucoup de gens ont longtemps pensé que le «calcul
infinitésimal» n'était pas vraiment du calcul... Mais on a fini par
comprendre d'où ça venait, et aujourd'hui, les scientifiques utilisent
les dérivées comme ils utilisent l'addition de deux nombres entiers :
tous les jours.

Cordialement,
--
Alan

Le 04 Nov 2009 15:30:12 GMT
Alan a écrit
>La fonction f, qui à tout réel x associe le réel |x|, a une «cassure» en
>0, on la voit bien quand on dessine la fonction. Cette «cassure», on peut
>essayer de la décrire.
>
>Déjà, ce n'est pas une «cassure» du type 'discontinuité' : on ne lève pas
>le crayon quand on dessine la fonction.
>
>En fait, c'est une cassure de «vitesse d'évolution». En clair, à gauche
>de 0, si j'avance de 1, je diminue de 1 (*). À droite, si j'avance de 1,
>j'augmente de 1.
>
>En 0, c'est vraiment impossible à dire, parce que suivant le chemin que
>je prends, bah je change la «vitesse d'évolution». Ce dont je suis sûr,
>c'est qu'à gauche, la vitesse, je l'estime à -1, et à droite je l'estime
>à 1.
>
>On pourrait se mettre d'accord pour dire que, lorsque ça arrive, on fait
>la somme : -1+1 = 0, oui. Mais en fait, ça ne nous importe aucune
>information utile (si ce n'est «vers où penche le point ?» peut-être), et
>surtout ce n'est pas comme ça qu'on définit une dérivée, tout simplement.
>Il faut faire preuve d'imagination pour bien comprendre la dérivation...
>mais pas au point de changer les définitions !
>
>(*) si x < -1 f(x+1)=f(x)-1, c'est clair.
>mais pour le cas : -1 < x < 0, on voit :
>f(x+a) = f(x) - a avec x < a < 0
>c'est-à-dire : si j'avance de a, je recule de a.
>
>Et je peux me rapprocher comme ça indéfiniment de 0 avec x... Mais dès
>que je dépasse un tout petit peu zéro, je me retrouve à droite, et ça
>devient beaucoup plus compliqué.
>
>N'hésite pas à te renseigner sur le sujet, c'est un formidable outil, les
>dérivées, on peut les utiliser partout, et ça t'aidera de nombreuses fois
>au cours de ta scolarité. Ça été aussi historiquement un sujet de
>discorde et une porte ouverte vers plein de bonnes choses en
>mathématiques. Beaucoup de gens ont longtemps pensé que le «calcul
>infinitésimal» n'était pas vraiment du calcul... Mais on a fini par
>comprendre d'où ça venait, et aujourd'hui, les scientifiques utilisent
>les dérivées comme ils utilisent l'addition de deux nombres entiers :
>tous les jours.
>
>Cordialement,

On peut tenir exactement le même discours avec la fonction suivante
qui visuellement a exactement le même aspect que |x|.

f(x) = |x| * exp( 1 - 1/ (x²)^0.0000001 )

En revanche f est on ne peut plus régulière, dérivable une infinité de
fois et toutes les dérivées sont continues.

Ca peut être confusionnant d'expliquer un comportement local par une
explication de type global.





--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

zwim a écrit :
> Le Wed, 04 Nov 2009 05:45:03 +0100
> zwim a écrit
>> Un autre point de vue plus avancé, par exemple la théorie des
>> distributions nous amène plutôt à poser f '(0) = 2 * dirac(0).
>> Où la distribution dirac(a) vaut l'infini au point a, et 2 parce que
>> c'est l'écart entre -1 et +1, les dérivées à gauche et à droite de 0.
>
> ERRATA: 2 * dirac(0) ce serait plutôt la dérivée seconde, je me suis
> emporté.

oui, ce serait plutot Heaviside(0).
Pour répondre à la question, il y'a aussi la notion de sous-gradient qui
serait l'ensemble des réels entre -1 et 1...

--
Nicolas Bonneel

Nicolas Bonneel a écrit :
> oui, ce serait plutot Heaviside(0).

pfff, moi aussi j'écris n'importe quoi. 2*Heaviside(0)-1

--
Nicolas Bonneel